Vennovy diagramy II

Tři množiny

Až doposud jsme si ukázali práci s Vennovými diagramy i s množinovými operacemi pouze pro dvě množiny. Ovšem v praxi se setkáváme i s podstatně většími počty množin. I na nich můžeme postupně provádět množinové operace (tak jako můžeme např. postupně sečíst tři čísla) a také pro ně můžeme použít Vennovy diagramy. Vennův diagram – jak jsme si již řekli – lze vytvořit pro libovolný konečný počet množin, my si však v této práci většinou vystačíme s diagramem pro dvě nebo pro tři množiny:

Tento diagram je opět univerzální a opět jej využijeme k ověřování různých pravidel pro práci s množinami. Zkusme například zjistit, zda je operace průniku asociativní, tedy zda platí $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ .

Zakreslíme nejdříve levou stranu, tj. začneme množinou $A \cap B$ :

Co bude výsledným průnikem je asi zřejmé, přesto si však ještě vyšrafujme množinu $C$ :

Výsledným průnikem je množina, která je na obrázku výše podbarvena i vyšrafována, tedy $(A \cap B) \cap C$

Nyní se podívejme na pravou stranu rovnosti. Nejprve zakreslíme množinu $B\cap C$ :

Vyšrafujeme množinu $A$ .

Výsledným průnikem je opět množina, která je na obrázku výše podbarvená oranžovou barvou a zároveň vyšrafovaná, tedy $A\cap(B \cap C)$ :

Pro levou i pravou stranu jsme získali stejný diagram, rovnost tedy platí. Z toho plyne, že operace průniku je asociativní. Pokud budeme postupně provádět několik průniků, nemusíme tedy používat závorky, místo $(A \cap B) \cap C$ můžeme rovnou psát $A \cap B \cap C$ .

Toto platí i pro sjednocení, tj. operace sjednocení je asociativní. Ověření tohoto pravidla zde provádět nebudeme, avšak je to vhodná příležitost k procvičení.

iž při zavádění operací sjednocení a průniku jsme si ukázali, že tyto operace jsou komutativní. Nyní víme, že jsou také asociativní, a tak můžeme zapsat např. následující rovnosti platící pro libovolnou trojici množin:

A \cap B \cap C = A \cap C \cap B = B \cap A \cap C = B \cap C \cap A = C \cap B \cap A = C \cap A \cap B

A \cup B \cup C = A \cup C \cup B = B \cup A \cup C = B \cup C \cup A = C \cup B \cup A = C \cup A \cup B

Podobné rovnosti bychom mohli psát také pro čtveřice množin, pětice,… Zkrátka s průnikem a sjednocením konečného počtu množin můžeme zacházet podobně jako se sčítáním a násobením u čísel. U čísel však platí také tzv. distributivní zákon – platí jeho obdoba i u množin? Zkusme to odvodit s využitím Vennových diagramů.

Máme ověřit, že platí $A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A \cap C)$ , neboli že platí distributivnost průniku vůči sjednocení. Začneme nejdříve levou stranou rovnosti, zakreslíme nejprve množinu $B \cup C$ a množinu $A$ , potom zachytíme jejich průnik:

$B \cup C$ a množinu $A$

Průnik množiny A a sjednocení množin B a C

$A \cap (B \cup C)$

Zbývá znázornit pravou stranu rovnosti, tj. nejdříve množiny $A \cap B, A \cap C$ a potom jejich sjednocení:

$A \cap B$ a množina $A \cap C$

Sjednocení průnik množin A a B a průniku množin A a C

$(A \cap B) \cup (A \cap C)$

Vybarvené oblasti ve výsledných diagramech jsou opět shodné, rovnost $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ platí pro libovolné tři množiny $A, B, C$ .

Tento vztah platí i v případě, že zaměníme průniky a sjednocení, tj. budeme-li uvažovat rovnost $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ . Postup ověření je podobný jako v předchozím případě, proto si je nebudeme znovu ukazovat. Je to však dobré cvičení!

Příklady k procvičení: 24.10 (pouze příkady, kde se vyskytuje pouze průnik a nebo sjednocení); 24.18;

KRIEGELSTEIN, Eduard. Sbírka úloh z matematiky pro střední průmyslové školy a střední zemědělské technické školy. 10. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1965.