Mocniny a odmocniny I

Mocniny s přirozeným exponentem

Mocnitele (exponent) označme $n$. Pro každé přirozené číslo $n$ a pro každé reálné číslo $a$ je n-tá mocnina čísla $a$ definovaná pro $n \in \N$ takto:

$a^1=a$

$a^n=a^{n-1} \cdot a$

Vzorce pro počítání s mocninami:

$\forall r,s \in \N, \forall a,b \in \R:$

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$

$3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}$

$5^6 \cdot 5^2 = 5^{6+2} = 5^{8}$

Všimněme si, že základ musí být u každé mocniny stejný. Teprve tehdy lze užít zmíněný vzorec.

---

$a^r : a^s = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}; a \neq 0$

$\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$ nebo $\frac{5^7}{5^3} = \frac{5^4 \cdot 5^3}{5^3} = 5^4$

---

$a^{r^{s}} = a^{r \cdot s}$

$2^{5^{3}} = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$

---

$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$

$(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$

---

$\frac{a}{b}^r = \frac{a^r}{b^r}; b \neq 0$

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5}$

---

Dále také platí:

$\forall r_1, r_2, ..., r_n \in \N, \forall a_1, a_2, ..., a_n \in \R:$

$a^{r_1} \cdot a^{r_2} \cdot ... \cdot a^{r_n} = a^{r_1 \cdot r_2 \cdot ... \cdot r_n}$

$5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{6} = 5^{2 \cdot 3 \cdot 6}= 5^{36}$

$(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^r = a_1^r \cdot a_2^r \cdot ... \cdot a_n^r$

$(2 \cdot 3 \cdot 4)^6 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 4^6$

---

Mocniny s nulovým exponentem

V případě, že je mocnitel roven $0$, definujeme mocninu jako:

$a^0 = 1, a \neq 0$

$5^0 = 1$

$235^0 = 1$

Všimněme si, že $0^0$ není definováno!!!

---

Mocniny s celým exponentem - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat

Definice: $\forall a \in \R-\{ {0} \}, \forall k \in \Z: a^{-k} = \frac{1}{a^{k}}$.

Uveďme příklady:

$\frac{5^{2}}{5^{5}} = \frac{5^{2}}{5^{2} \cdot 5^{3} } = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$

$\frac{4^{3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-5}}{3^{3} \cdot 4^{2} \cdot 5^{-3}} = \frac{4^{3} \cdot 5^{3}}{3^{2} \cdot 5^{5} \cdot 3^{3} \cdot 4^{2} } =\frac{4}{3^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}} = 4 \cdot 3^{-5} \cdot 5^{-2}$

$(\frac{3}{5})^{-2} = \frac{5^{2}}{3^{2}}$

$(\frac{1}{2})^{-1} = 2^{1} = 2$

Pro mocniny s celým exponentem platí všechna pravidla sepsaná výše, tj. pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným exponentem.

V případě, že se v základu vyskytuje proměnná, probíhají všechny operace naprsoto totožně, jako kdyby byl základ reálné číslo.

Příklady:

Příklady na obrázku 1 - 6 ... opakování učiva základní školy

Příklady na obrázku 7 - 8 ... pouze příklady 1 až 4!!!

Příklady na obrázku 9 - 20 ... celočíselný exponent - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat