Mocniny a odmocniny I

Mocniny s přirozeným exponentem

Mocnitele (exponent) označme n. Pro každé přirozené číslo n a pro každé reálné číslo a je n-tá mocnina čísla a definovaná pro n \in \N takto:

a^1=a

a^n=a^{n-1} \cdot a

Vzorce pro počítání s mocninami:

\forall r,s \in \N, \forall a,b \in \R:

a^r \cdot a^s = a^{r+s}

3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12}

5^6 \cdot 5^2 = 5^{6+2} = 5^{8}

Všimněme si, že základ musí být u každé mocniny stejný. Teprve tehdy lze užít zmíněný vzorec.


a^r : a^s = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}; a \neq 0

\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 nebo \frac{5^7}{5^3} = \frac{5^4 \cdot 5^3}{5^3} = 5^4


a^{r^{s}} = a^{r \cdot s}

2^{5^{3}} = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}

(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r

(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4

\frac{a}{b}^r = \frac{a^r}{b^r}; b \neq 0

(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5}

Dále také platí:

\forall r_1, r_2, ..., r_n \in \N, \forall a_1, a_2, ..., a_n \in \R:

a^{r_1} \cdot a^{r_2} \cdot ... \cdot a^{r_n} = a^{r_1 \cdot r_2 \cdot ... \cdot r_n}

5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{6} = 5^{2 \cdot 3 \cdot 6}= 5^{36}

(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^r = a_1^r \cdot a_2^r \cdot ... \cdot a_n^r

(2 \cdot 3 \cdot 4)^6 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 4^6

Mocniny s nulovým exponentem

V případě, že je mocnitel roven 0, definujeme mocninu jako:

a^0 = 1, a \neq 0

5^0 = 1

235^0 = 1

Všimněme si, že 0^0 není definováno!!!


Mocniny s celým exponentem - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat

Definice: \forall a \in \R-\{ {0} \}, \forall k \in \Z: a^{-k} = \frac{1}{a^{k}} .

Uveďme příklady:

\frac{5^{2}}{5^{5}} = \frac{5^{2}}{5^{2} \cdot 5^{3} } = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}

\frac{4^{3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-5}}{3^{3} \cdot 4^{2} \cdot 5^{-3}} = \frac{4^{3} \cdot 5^{3}}{3^{2} \cdot 5^{5} \cdot 3^{3} \cdot 4^{2} } =\frac{4}{3^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}} = 4 \cdot 3^{-5} \cdot 5^{-2}

(\frac{3}{5})^{-2} = \frac{5^{2}}{3^{2}}

(\frac{1}{2})^{-1} = 2^{1} = 2

Pro mocniny s celým exponentem platí všechna pravidla sepsaná výše, tj. pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným exponentem.

V případě, že se v základu vyskytuje proměnná, probíhají všechny operace naprsoto totožně, jako kdyby byl základ reálné číslo.

Příklady:

Příklady na obrázku 1 - 6 ... opakování učiva základní školy

Příklady na obrázku 7 - 8 ... pouze příklady 1 až 4!!!

Příklady na obrázku 9 - 20 ... celočíselný exponent - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat

20
« 20 z 20 »

Aktuality

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma: