Mocniny s přirozeným exponentem
Mocnitele (exponent) označme n. Pro každé přirozené číslo n a pro každé reálné číslo a je n-tá mocnina čísla a definovaná pro n \in \N takto:
a^1=a
a^n=a^{n-1} \cdot a
Vzorce pro počítání s mocninami:
\forall r,s \in \N, \forall a,b \in \R:a^r \cdot a^s = a^{r+s}
3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7} = 3^{12} 5^6 \cdot 5^2 = 5^{6+2} = 5^{8}Všimněme si, že základ musí být u každé mocniny stejný. Teprve tehdy lze užít zmíněný vzorec.
a^r : a^s = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}; a \neq 0
\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 nebo \frac{5^7}{5^3} = \frac{5^4 \cdot 5^3}{5^3} = 5^4
a^{r^{s}} = a^{r \cdot s}
2^{5^{3}} = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r
(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4\frac{a}{b}^r = \frac{a^r}{b^r}; b \neq 0
(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5}Dále také platí:
\forall r_1, r_2, ..., r_n \in \N, \forall a_1, a_2, ..., a_n \in \R:a^{r_1} \cdot a^{r_2} \cdot ... \cdot a^{r_n} = a^{r_1 \cdot r_2 \cdot ... \cdot r_n}
5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{6} = 5^{2 \cdot 3 \cdot 6}= 5^{36}(a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)^r = a_1^r \cdot a_2^r \cdot ... \cdot a_n^r
(2 \cdot 3 \cdot 4)^6 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 4^6Mocniny s nulovým exponentem
V případě, že je mocnitel roven 0, definujeme mocninu jako:
a^0 = 1, a \neq 0
5^0 = 1 235^0 = 1Všimněme si, že 0^0 není definováno!!!
Mocniny s celým exponentem - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat
Definice: \forall a \in \R-\{ {0} \}, \forall k \in \Z: a^{-k} = \frac{1}{a^{k}} .
Uveďme příklady:
\frac{5^{2}}{5^{5}} = \frac{5^{2}}{5^{2} \cdot 5^{3} } = \frac{1}{5^3} = 5^{-3} \frac{4^{3} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-5}}{3^{3} \cdot 4^{2} \cdot 5^{-3}} = \frac{4^{3} \cdot 5^{3}}{3^{2} \cdot 5^{5} \cdot 3^{3} \cdot 4^{2} } =\frac{4}{3^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}} = 4 \cdot 3^{-5} \cdot 5^{-2} (\frac{3}{5})^{-2} = \frac{5^{2}}{3^{2}} (\frac{1}{2})^{-1} = 2^{1} = 2Pro mocniny s celým exponentem platí všechna pravidla sepsaná výše, tj. pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným exponentem.
V případě, že se v základu vyskytuje proměnná, probíhají všechny operace naprsoto totožně, jako kdyby byl základ reálné číslo.
Příklady:
Příklady na obrázku 1 - 6 ... opakování učiva základní školy
Příklady na obrázku 7 - 8 ... pouze příklady 1 až 4!!!
Příklady na obrázku 9 - 20 ... celočíselný exponent - učivo 2. ročníku, není nutné nyní počítat