S variacemi se setkávám tehdy, kdy vybíráme skupinu prvků z určité množiny těchto prvků. Přičemž je důležité pořadí, v jaké prvky uspořádáme. (Např.: Výběr 2 dětí z 15, kde záleží na pořadí.)
Jedna variace je právě jedna taková vybraná skupinka prvků. Nás bude většinou zajímat, kolik takových variací je možné sestavit. (Např.: Kolik různých dvojic dětí lze vybrat na divadelní role čerta a Káči?)
Prvky, které vybíráme, mezi sebou rozlišujeme, jsou navzájem různé a neopakují se.
Definice: Variace bez opakování je k-členná skupina utvořená z daných n prvků tak, že v nich záleží na pořadí a žádný z daných prvků se v ní neopakuje.
Počet k-členných variací z n prvků:
V(k,n)=\frac{n!}{(n-k)!},\ k<n
neboli
V(k,n)=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)
Příklad č. 1: Vytvořte 2členou variaci ze 3 prvků a,\ b,\ c:
V(2,3)=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{6}{1}=6Možnosti: ab,\ ac,\ ab,\ ba,\ bc,\ ca,\ cb
Příklad č. 2: Mirek si chce vytvořit vlastní vlajku. Chtěl by, aby byla složena ze tří různobarevných svislých pruhů. K dispozici má látky 5 různých barev - fialovou, červenou, modrou, zelenou a žlutou.
- Určete, kolik různých vlajek si může Mirek sestavit. [60]
- Kolik takových vlajek má jeden pruh žlutý? [36]
- Kolik vlajek neobsahuje červený pruh? [24]
Příklad č. 3: Sportovní klub Komárov vybírá osoby na pozice předsedy, místopředsedy, účetního a trenéra. K dispozici má 8 uchazečů a 5 uchazeček. Určete:
- Kolika způsoby z nich lze vybrat tyto funkcionáře? [17 160]
- Kolika způsoby lze vybrat funkcionáře tak, aby předseda byl muž a místopředseda žena nebo obráceně? [8800]
- Kolika způsoby lze vybrat funkcionáře tak, aby právě jedním z nich byla žena? [6720]
Příklad č. 4: Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou? [9+81+648+4536 = 5274]
Příklad č. 5: Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z nich je menších než 6000? [3258]
Příklad č. 6: A) Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na pondělí pro 7. třídu ZŠ Hoštice, v níž se vyučuje 11 předmětů. Každý předmět je maximálně jednou denně a celkově se v pondělí vyučuje 6 vyučovacích hodin.[332 640]
B) Kolika způsoby lze sestavit takový rozvrh, který má jako druhý vyučovací předmět matematiku? (Matematika je jeden z jedenácti předmětů).[30 240]
Příklad č. 7: Soňa zapomněla své telefonní číslo. Vzpomíná si, že mělo předčíslí 773 a poté jej tvořilo 6 různých čísel takových, že: první tři čísla byly sudé nebo nula, další dvě liché a poslední si nepamatuje vůbec. Kolik existuje telefonních čísel, které by odpovídaly Soninu popisu?[6000]
Příklad č. 8: Žáci třetí třídy chtějí nacvičit divadlo na vystoupení ke Dni matek. Paní učitelka musí vybrat 4 žáky z 23 žáků (16 chlapců a 7 děvčat) na divadelní role: Král Richard, služebná Agáta, podkoní Matěj a princezna Tiana.
- Kolik různých čtveřic žáků může na tyto role vybrat? [212 520]
- Kolik různých čtveřic žáků může na tyto role vybrat tak, aby služebná a princezna byla děvčata? (Král i podkoní žádné omezení nemají.){17 640]
- Kolik různých čtveřic žáků může na tyto role vybrat tak, aby služebná a princezna byla děvčata a aby král a podkoní byli chlapci?[10 080]
Příklad č. 9: Na dětském táboře dostalo 45 dětí za úkol vytvořit si každý svou vlajku. Zadání úkolu zní: Vlajka bude složena ze tří různobarevných svislých pruhů. K dispozici máte látky 5 různých barev - černá, červená, modrá, oranžová a žlutá.
- Je možné, aby každé dítě mělo svou originální vlajku? [60, ANO]
- Kolik lze sestavit vlajek se žlutým pruhem uprostřed? [12]
- Kolik lze sestavit vlajek, které nemají prostřední pruh červený? [48]
Příklad č. 10: Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z nich je dělitelných pěti? [27216, 5712]
Příklad č. 11: Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, která jsou sestavena z číslic 2, 4, 5, 6, 7, 9. Kolik z nich je sudých? [516, 258]
Příklad č. 12: V naší nejvyšší fotbalové lize je 16 týmů. Kolik je různých možností obsazení prvních tří míst? [3360]
Příklad č. 13: Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, která jsou sestavena z číslic 1, 2, 3, 4, 5. [120] ]Kolik z nich je dělitelných 5? [24] Kolik z nich je lichých? [72]
Příklad č. 14: Katka prodává svíčky, nyní má k dispozici 8 různě barevných vosků. Kolik různých svíček může vyrobit, pokud by chtěla, aby každá svíčka byla složena z 5 různobarevných vodorovných pruhů? [6720]
Kolik různých svíček může vyrobit, pokud nejvyšší pruh bude modrý a nejnižší fialový nebo naopak? [240]
Kolik různých svíček může vyrobit, pokud by chtěla, aby prostřední 3 pruhy byly červené, oranžové a žluté barvy? [336]