Požadavky k maturitní zkoušce:
- aritmetické operace s přirozenými čísly
- rozlišení provočísla a čísla složeného, rozklad na prvočinitele
- pojem dělitelnost přirozených čísel a znaky dělitelnosti
- čísla soudělná a nesoudělná
- největší společný dělitel a nejmenší společný násobek přirozených čísel
Přirozená čísla dokážeme jmenovat, zapisovat číslicemi a znázorňovat na číselné ose. Rozlišujeme významy slov číslice (cifra) a číslo. Číslice (cifra) je grafický symbol znázorňující číslo. Například číslo 425 se skládá z třech číslic (cifer), a to z čtyřky, dvojky pětky.
Definice přirozených čísel: Přirozená čísla jsou čísla 1, 2, 3, ... Pozor, nula nepatří mezi přirozená čísla!
Značení:
\N obor (množina) přirozených čísel
\N_0 množina přirozených čísel včetně nuly
Dělitelnost
Číslo a je násobkem čísla b, pokud existuje přirozené číslo k takové, že
a = k \cdot b
Číslo b je dělitelem čísla a. O přirozených číslech říkáme, že jsou soudělná, když mají společného dělitele větší než jedna. Pokud dvě čísla nemají společného dělitele větší jak jedna, pak se čísla nazývají nesoudělná.
Znaky dělitelnosti
- Číslo je dělitelné dvěnam když má na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6, 8 (sudá čísla)
- Číslo je dělitelné třemi, pokud ciferný součet čísla je delitelný třemi
- Číslo je dělitelné čtyřmi, pokud je jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi
- Číslo je dělitelné pěti, pokud na místě jednotek je 0 nebo 5
- Číslo je dělitelné 6, pokud je dělitelné dvěma a třemi zároveň
- Číslo je dělitelné 8, pokud je jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi
- Číslo je dělitelné 9, pokud je jeho ciferný součet dělitelný devíti
- Číslo je dělitelné 10, pokud je na místě jednotek 0
- Číslo je dělitelné 12, pokud je dělitelné třemi a čtyřmi zároveň
- Číslo je dělitelné 25, pokud končí dvojčíslím 00, 25, 50, 75
- Číslo je dělitelné 50, pokud končí dvojčíslím 00, 50
- Číslo je dělitelné 100, pokud končí dvojčíslím 00
Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Existuje jediné sudé provčíslo, číslo 2.
Složené číslo je každé přirozené číslo, které má alespoň tři různé dělitele
Číslo 1 není ani prvočíslo, ani číslo složené!!!
Každé složené číslo lze vyjádřit jako součin jeho dělitelů větších než jedna. Takovýto součin se nazývá rozklad složeného čísla. Jsou-li vtomto rozkladu všechny činitele prvočísla, jedná se o prvočíselný rozklad.
Příklady:
- Najděte všechny dělitele čísla 48.
- Proveďte prvočíselný rozklad čísla 36
Hledání prvočíselného rozkladu
Pokud se setkáme s velkými čísly, může nastat problém s ověřováním, která prvočísla dělí zadané číslo. Pro rychlejší výpočet nám pomůže následující věta.
Každé složenné číslo n je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p, pro které platí
p \le \sqrt{n}
Pokud budeme provádět prvočíselný rozklad čísla 943, pak stačí dle předchozí věty ověřit pouze prvočísla menší jak 31, jelikož
\sqrt{943} \doteq 30,7
pak jsou možná prvočísla, která dělí číslo 943, pouze 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a 29. Pokud žádné z těchto prvočísel nedělí číslo 943, pak je číslo 943 také prvočíslem. V našem případě ale platí, že číslo 23 dělí číslo 943 a lze provést prvočíselný rozklad
943 = 23 \cdot 41
Prvočíselný rozklad lze také zapsat ve tvaru součinu mocnin prvočísel, jejichž základy jsou uspořádány vzestupně. Například takto:
12 600 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7
Příklady:
- Proveďte prvočíselný rozklad čísel 72, 210, 495, 5775, 3861
- Rozhodněte, zda daná čísla jsou prvočísla: 667, 677, 439, 1591, 4187
- Upravte zlomky na základní tvar (lze užít prvočíselný rozklad): \frac{91}{104}, \frac{1825}{3200}, \frac{696}{2088}, \frac{3600}{4062}.
- Zapište prvočíselný rozklad daných čísel jako součin mocnin prvočísel, jejichž základy jsou uspořádány vzestupně:
- 360, 4410, 28875, 8580
Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek