Pro pochopení pravděpodobnosti je klíčové ovládat jednotlivé pojmy z kombinatoriky, tedy zejména variace, permutace a kombinace. Velké množství příkladů vyžadují určité kombinatorické předpoklady.
Pravděpodobnost můžeme popsat jako šance, že se stane nějaký jev, který mi předpokládáme. Například při hodu mincí zjišťujeme, jaká je pravděpodobnost, že padne orel. Mohu házet také kostkou a ptát se na pravděpodobnost, že padne číslo šest. Nás bude zajímat tato procentuální šance, že ten jev nastane.
Nejlepší pravděpodobnost je samozřejmě 100 %, nejhorší pravděpodobnost je pak 0 %. Všechny pravděpodobnosti, které nám budou v příkladech vycházet, lež na intervalu <0;1>.
Motivační příklady:
Jedním z hlavních důvodů, proč pravděpodobnost vznikla, je hazard. Lidé chtěli zjistit při hraní karet, sázení apod. šanci, že vyhrají nebo že nastane ta nebo ta situace. Kdy položit karty a další.
Dalším příkladem je typický problém s narozeninami. Máme skupinu lidí a zajímají nás jejich data narození (přestupný rok v tomto případě nepočítáme - 29. února). Každý den v roce je na každého člověka stejně pravděpodobný, že má narozeniny. Zajímá nás, když vybereme skupinku k lidí, jaká je pravděpodobnost, že dva lidé mají narozeniny ve stejný den. Kolik lidí musíme vzít, jaké tedy bude k, aby byla alespoň 50% šance, že dva lidé budou mít ve stejný den narozeniny.
Výsledky jsou zajímavé, protože při počtu 23 lidí je 50,7% šance, že dva lidé budou mít ve stejný den narozeniny. Při počtu 50 lidí je 97% šance, že dva lidé budou mít ve stejný den narozeniny. Při počtu 100 lidí je 99,9% šance, že dva lidé budou mít ve stejný den narozeniny.
Pokud máte na facebooku sto přátel, je opravdu hodně hodně pravděpodobné, že dva budou mít narozeniny ve stejný den. Jedná se relativně o šokující výsledek.
Další situací je příklad, kdy se necháme testovat nějakým testem na nějakou nemoc. Nemoc má 1 % populace, tedy každý stý člověk má tu nemoc, na kterou se necháme testovat. Necháme se testovat testem s přestností 95 %, který mi řekne s touto přesností, zda jsem pozitiní či ne.
Nechám se otestovat a test mi vyjde pozitivní. Jaká je šance, že tu nemoc skutečně mám? Ve skutečnosti je šance 16%, že tu nemoc skutečně mám. Je to způsobeno tím, že test má 95% přesnost a ve sledovaném vzorku lidí bude nezanedbatelné procento lidí, které test označí, že nemoc mají, i když ji nemají. Z tohoto důvodu je výsledek pouhých 16 %.
Samozřejmě v případě symptomů je pravděpodobnost nemoci výrazně vyšší. V případě ale, že se nechám otestovat a nemám symptomy, je pravděpodobnost nakažení malá.
Posledním motivačním příkladem je situace spíše zasazená do světa statistiky. Ve 2. světové válce se Angličané ptali statistiků, kam mají pancíř na bombardér. Britové vysílali bombardéry nad Německo a vraceli se jim roszřílené. Někdo měl rostřílený trup, někdo zase křídlo, ...
Zároveň nebylo možné dát pancíř všude (nebylo ho dostatek), ledadlo by nevzlétlo nebo by se výrazně zkrátil dolet. Statistik řekl: Dejte pancíř přesně tam, kde nejsou na letadle žádné průstřely. Armáda si řekla, že to není logické. Pancíř by se měl dát právě tam, kde průstřely na letadlech jsou.
Statistici ale odvětili, že prostřílená letadla na letištích v Anglii jsou ta, která se vrátila. Ale ta, co se nevrátila a padla, tak ty průstřely budou mít na jiných místech. Tedy místa, kde letadla, která se brátila, nebyla prostřílená, tak se vyztužila pancířem. Protože právě v těchto místech byla větší šance, že průstřely povedou k sestřelení letounu.