Množina se dá chápat jako soubor prvků. Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný nebo nekonečný. Též nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině. Množinu obvykle značíme velkým tiskacím písmenem, například M, a prvky množiny malým písmenem m.
Množina je soubor libovolných prvků. V matematice nejčastěji pracujeme s číselnými množinami, tedy s množinami, jejichž prvky jsou čísla. Klasický zápis množiny v matematice je takový:
M=\{1;2;3\}
Tímto jsme popsali množinu s názvem M, která obsahuje tři prvky, jedničku, dvojku a trojku. Množiny vždy zapisujeme do složených závorek, prakticky vždy, když uvidíte složené závorky, jedná se o nějakou množinu.
L=\{1;2;3;4;5\}
Množiny nám často určují, jaké prvky si můžeme vybírat. V matematice používáme k zápisu, že prvek patří do množiny znak \in a když nepatří, použijeme \notin. Pokud tak chceme říci, že jednička patří do množiny L, ale sedmička ne, zapsali bychom to takto: 1 \in L a 7 \notin L
Množina může být pochopitelně prázdná, k tomu slouží buď zápis P=\{\} nebo jednodušeji P=\varnothing. Pozor na to, že oba zápisy znamenají „prázdná množina“, pokud byste to zapsali takto: P=\{\varnothing\}, tak byste zapsali množinu, která v sobě obsahuje prázdnou množinu. Není to totéž jako prázdná množina.
Neuspořádanost a duplicita množin
O množině neříkáme, že má prvky nějak uspořádané. Množina obsahuje neuspořádaný soubor prvků. Pokud bychom měli dvě množiny A=\{1;2;3\} a B=\{3;2;1\} tak řekneme, že jsou stejné. Na pořadí prvků v množině zkrátka nezáleží.
Stejně tak nás nezajímají duplicitní prvky. Pokud množina obsahuje více stejných prvků (více stejných čísel), tak bereme v potaz vždy pouze jediný výskyt daného prvku. Opět, pokud bychom měli tyto dvě množiny A=\{1;1;2;2;2\} a B=\{2;1\} tak bychom je považovali za stejné. Nevadí, že množina A obsahuje „více“ prvků, protože obsahuje zdvojené či ztrojené prvky. Při počítání s množinami tyto zdvojené prvky zkrátka vyfiltrujeme.
Velikost a rovnost množin
Můžeme definovat pojem velikost množiny, což je počet prvků v množině. Z předchozího příkladu A=\{1;1;2;2;2\} a B=\{2;1\}by tak platilo, že velikost množiny A je dva, ale velikost množiny B je také dva, protože ani při počítání prvků množiny nás nezajímají duplicitní prvky. Velikost množiny značíme do svislých čar: |A|=|B|=2 .
Jak už jste asi pochopili, dvě množiny se rovnají, pokud mají obě množiny stejné prvky. Pár příkladů:
\{1;2;3\}\ne \{2;1\}
\{1;2;3\}=\{1;2;3;2;3;1\}
\{a;h;o;j\}=\{a;o;o;j;a;h\}
\{1;3;5\} \ne \{1;3;5;9\}
\varnothing \ne \{x\}
Podstatnou vlastností je, že množiny mohou obsahovat jako svůj prvek znovu množinu. Příklad: C = \{1, 2, \{3, 4, 5, 6\}\}. Je důležité si uvědomit, že množina C je tříprvková, ne šesti. Množina C obsahuje tři prvky: jedničku, dvojku a množinu. Ty prvky 3, 4, 5 a 6 obsahuje vnitřní množina, ne množina C. Takže platí |C|= 3. Složitější příklad:
D=\{0;\{1;\{2;3\}\};4\}
Kolik prvků obsahuje množina D? Obsahuje tři prvky, jsou to tyto prvky: D_1=0; D_2=\{1;\{2;3\}\}; D_3=\{4\}
Množina může být konečná nebo nekonečná. Konečné množiny jsou všechny, které jsme zatím zmínili. Nekonečná je například množina všech čísel.
Podmnožina
Mějme dvě množiny A = \{1; 2\} a B = \{1; 2; 3\}. Tyto množiny jsou různé, protože neobsahují stejné prvky, množina B je větší. Nicméně jste si jistě všimli, že množina B obsahuje přesně tytéž prvky jako množina A, jen má navíc prvek 3. V tuto chvíli můžeme říct, že A je podmnožinou B.
Pokud je A podmnožinou B, pak musí platit, že všechny prvky které obsahuje množina A, musí obsahovat také množina B. Být podmnožinou zapisujeme pomocí symbolu \subseteq.
Definice: A \subseteq B \iff \forall x \in A: x\in B
Obyčejně se předpokládá, že množiny A a B mohou být stejné. Pokud množiny A a B ale nejsou stejné, užijeme symbol \subsetneq nebo \subset.
Definice: A \subset B \iff ( A \subseteq B \land A \ne B ).
Příklad
A=\{1;2;3\}; B=\{1;2;3;4\}; C=\{3;2;1\}
Pak platí:
A \subseteq B;A \subset B;A \subsetneq B
A=C;C \subseteq A; A \subseteq C
C \subseteq B;C \subset B;C \subsetneq B
Pokud množina A není podmnožinou množiny B, zapisujeme tento vztah A \nsubseteqq B.
Potenční množina
Potenční množina je množina všech podmnožin dané množiny. Značí se P(M).
Příklad: M = \{1; 2; 3\}. Jaké jsou všechny podmnožiny? Určitě je to prázdná podmnožina a samotná množina M. Dále: \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1; 2\}, \{1; 3\}, \{2; 3\}. Všechny tyto množiny tvoří potenční množinu množiny M. Zapíšeme:
P(M)=\{ \varnothing ,M, \{1\},\{2\},\{3\},\{1;2\},\{1;3\},\{2;3\}\}
nebo zapsáno jinak
P(M)=\{ \varnothing ,\{1;2;3\}, \{1\},\{2\},\{3\},\{1;2\},\{1;3\},\{2;3\}\}
Protože platí, že M je podmnožinou množiny M a prázdná množina je podmnožinou každé množiny, platí tedy:
\varnothing \in M a M \in P(M) .
Zápis množiny
Jeden způsob už jsme zmínili, prostým výpisem prvků. Používáme k tomu složené závorky. M = \{1; 2; 3\} nebo N = \{a; b; c; d\} apod. Pokud zapisujeme nekonečnou množinu, můžeme k tomu použít tři tečky, pokud je zřejmé, jak bude posloupnost prvků pokračovat: M = \{1; 2; 3; …\}.
Hlavním způsobem, jak zapsat množinu, je charakteristická vlastnost množiny. Obecně by zápis vypadal takto:
\{ x \in X|P(x) \}
kde X je množina, ze které vybíráme prvky a P(x) je nějaká formule, která specifikuje prvky množiny. Formule může být zapsána čistě matematicky nebo slovně. Místo „|“ se také používá středník: ;.
Například „nechť množina M obsahuje všechna čísla, která označují nějaký den v měsíci“. Měsíc má maximálně 31 dní, takže taková množina by měla 31 prvků, od 1 do 31. Mohli bychom ji zapsat pomocí trojtečky takto: M=\{1;2;3;...;30;31\}. Další zápis stejné množiny by mohl vypadat takto:
\{x \in \Z | x označuje den v měsíci\},
kde \Z označuje množinu celých čísel.
Více matematický příklad by mohl znít „nechť množina P obsahuje všechna kladná čísla, která jsou dělitelná pěti“. Pak by množina vypadala takto:
P=\{5; 10; 15; 20; 25; ...\}
Zkusíme si matematicky zapsat množinu T přirozených čísel, která jsou menší než deset:
T=\{x \in \N |x<10\}.
Příklady k procvičení - vypočtěte příklady 24.2
KRIEGELSTEIN, Eduard. Sbírka úloh z matematiky pro střední průmyslové školy a střední zemědělské technické školy. 10. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1965.