Lomené výrazy jsou výrazy ve tvaru zlomku, vjehož jmenovateli je proměnná, například:
\frac{3}{x};\ \frac{x+1}{x-1};\ \frac{y}{2x^2+4x+5};\ \frac{a^2+2ab+b^2}{a+1};\ -\frac{3x}{x^2+1};\ ...
Počítání s lomenými výrazy má podobné vlastnosti jako počítání se zlomky. Proto si tuto souvislost budeme u jednotlivých operací připomínat.
Určování podmínek, pro něž má lomenný výraz smysl
- Zlomky: Zlomek má smysl, když jeho jmenovatel je různý od nuly. (Nulou nelze dělit!)
- Lomenné výrazy: Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. (Nulou nelze dělit!)
Příklad: Určete, pro které hodnoty proměnných má lomený výraz smysl:
Výraz \frac{4-x}{2x+3} má smysl pro \ 2x+3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq -\frac{3}{2}.
Výraz \frac{1}{y^2-x^2} má smysl pro \ y^2-x^2 \neq 0 \ \Rightarrow (x-y) \cdot (x+y) \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq \pm y.
Výraz \frac{1}{1+y^2} má smysl pro 1+y^2 \neq 0. Protože je druhá mocnina čísla vždy nezáporná a je k ní přičítána navíc jednička, bude jmenovatel vždy kladný a výraz má smysl pro všechna čísla v \R.
Pro stručné vyjadřování je výraz různý od nuly nebo nenulový výraz ten, z kterého jsou vyloučeny hodnoty proměnných, po jejichž dosazení je číselná hodnota výrazu rovna nule.
Například výraz x+7 je nenulový pro x \neq -7. Výraz 5z^2 je nenulový pro z \neq 0.
Krácení a rozšiřování lomenných výrazů
Zlomky: Zlomek se nezmění, když se jeho čitatel i jmenovatel vynásobí nebo vydělí stejným nenulovým číslem.
\frac{3}{4}=\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5}
Lomenné výrazy: Lomenný výraz se nezmění, když jeho čitatel i jmenovatel vynásobíme nebo vydělíme stejným nenulovým výrazem.
\frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+1}
Krácení lomených výrazů představuje zjednodušení (úpravu) těchto výrazů, aniž by se změnila hodnota lomeného výrazu. Jedná se o dělení výrazu v čitateli i ve jmenovateli nejvhodnějším společným dělitelem.
Jednočleny v lomených výrazech můžeme krátit přímo, protože představují vlastně násobení.
\frac{8x^3}{4x^2} = \frac{2x \cdot 4x^2}{4x^2} = 2x
Podmínky: x \neq 0
Hodnota výrazu v x=2:\ \frac{8 \cdot 2^3}{4 \cdot 2^2} = \frac{64}{16} = 4
\frac{72x^2y^4z^3}{84x^3y^4z} =\frac{12 \cdot 6 \cdot x^2 \cdot y^4 \cdot z \cdot z^2}{12 \cdot 7 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^4 \cdot z}=\frac{6z^2}{7x}
Podmínky: x, y, z \neq 0
Hodnota výrazu pro x, y, z = 1: \frac{6 \cdot 1^2}{7 \cdot 1} =\frac{6}{7}
Pokud hodnotu proměnných dosadíme do zadání nebo do upraveného zadání (výsledku) je bezpředmětné. Pokud proběhly všechny úpravy korektně, hodnota výrazu vyjde stejná. Výsledek je také vhodné nechávat ve tvaru zlomku a nezaokrouhlovat!
Krácení a rozšiřování lomenných výrazů - více členů v čitateli / jmenovateli
Je–li v čitateli i ve jmenovateli více členů ve tvaru sčítání nebo odčítání, nelze provádět krácení!!! Čitatele, popřípadě i jmenovatele, je nutno rozložit na součin buď vytýkáním, pomocí vzorců, atd. a potom teprve lze krátit.
Tedy - krátit lze pouze a jen tehdy, pokud mám mezi členy v čitateli krát. Pokud mám někde plus nebo mínus, krátit nelze. Pozor, to neplatí u výrazu \frac{x \cdot (x+y)}{x+y}. V tomto případě mám sice v čitateli součet, ale je v závorce. Technicky tedy násobím proměnnou a závorku. Závorku se součtem beru jako jeden člen.
\frac{x \cdot (x+y)}{x+y}=x
Úprava mnohočlenu "doplněním na čtverec"
Pro rozklad "na čtverec" je důležitá znalost dvou základních vzorců ze základní školy:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Doplněním na čtverec rozkládáme vždy kvadratický trojčlen, což je výraz typu
ax^2+bx+c
kde a, b, c jsou nenulová čísla. My z tohoto výrazu budeme chtít udělat výraz jiný, který obsahuje závorku umocněnu na druhou. Tyto úpravy mají pak velký význam při kontrukci grafů kvadratické funkce. Dále pak například při počítání integrálů nebo kvadratických rovnic.
Příklad: Uprav výraz x^2-4x+3 doplněním na čtverec.
Nejprve se ujistíme, že koeficient a je kladný. V našem případě je tato podmínka splněna (číslo u x^2=1x^2. Pokud by podmínka splněna nebyla, řešení by bylo obdobné, ale početně náročnější - viz další příklad. Museli bychom vytknout -1.
Dále se podíváme na lineární člen. Pokud je kladný, budu využívat vzorec (a+b)^2. Pokud by byl záporný, pak budu využívat vzorec (a-b)^2.
U výrazu x^2-4x+3 je u členu x^2 jednička. Označme a=1 \ \Rightarrow \ \sqrt{a}=\sqrt{1}=1. U lineárního členu je pak čtyřka. Tuto hodnotu vydělím dvěmi a koeficientem \sqrt{a} a dostanu dvojku. Zapíši:
(1x-2)^2
Po umocnění dostávám
x^2-4x+4
Tato závorka odpovídá vyjádření kvadratického a lineárního členu, ale ne tak úplně!!!
x^2-4x \neq x^2-4x+4 = (x-2)^2
Vidíme, že jsme umocněním závorky dostali navíc číslo čtyři. Tak ho odešteme.
x^2-4x = (x^2-4x+4)-4 = (x-2)^2-4
Nyní už pouze zakomponujeme absolutní člen. Dostáváme:
x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-4+3
x^2-4x+3=(x-2)^2-1
A máme hotovo!
Příklad: Doplňte na čtverec výraz -4x^2+2x+1
Nejprve odstraníme mínus před kvadratický členem.
-4x^2+2x+1=-[4x^2-2x-1]
Lineární člen je záporný, využijeme tedy vzorec (a-b)^2
-( 4x^2-2x-1)=-( (2x- \frac{1}{2} )^2+A-1 )
Jednu polovinu jsme dostali vydělením koeficientu u lineárního členu číslem 2 a číslem \sqrt{a}. Pod A je schované číslo, které ale zatím neznáme.
Po umocnění závorky bychom dostali 4x^2-2x+\frac{1}{4}. Jedna čtvrtina je tedy navíc, proto ji odečtu.
-( 4x^2-2x-1)=\\=-( (2x-\frac{1}{2})^2+A-1 )=\\=-( (2x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-1)=\\= -((2x-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4})=\\=-(2x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}
Příklady: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. 3. vyd. Praha: SPN, 1989. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-04-24148-4.
Příklady: HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 978-80-7196-318-9.
Příklady: Doplnění na čtverec