Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (sčítání, násobení, ...) a závorek tvořeny smysluplné vztahy. Například:
\frac{a+b}{2ab}, \sqrt{xy}, 2 \pi r, (\frac{x}{2}-1)^2
Pojmem proměnná označujeme libovolné písmeno (např. a, b, x, y, ...), které zastupuje čísla z určitého oboru. Její číselná hodnota se mění podle toho, jaké číslo za ni dosadíme.
Pojmem konstanta označujeme konkrétní číslo (např. 2, \pi, ...). Jeho hodnota se nemění, zůstává stejná - konstantní.
U výrazů určujeme:
- Definiční obor proměnné - taková čísla, pro která daný výraz má smysl. Většinou zapisujeme jako podmínky, kdy má výraz smysl.
Například pro výraz \frac{1}{x} musí platit podmínka x \neq 0. Pro \sqrt{x} musí platit x \geq 0 ...
Poznámka: pod sudou odmocninou musí být nezáporné číslo (kladné nebo nula), pod lichou odmocninou může být číslo libovolné (kladné, záporné, nula)
- Hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných - výsledek získaný po dosazení daných hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací.
Například hodnota výrazu \frac{a+b}{2ab} pro a=1, b=2 je \frac{1+2}{2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{3}{4}
Určete, kdy mají výrazy smysl
\frac{x^2}{1-x}Výraz má smysl pro všechna x \in \R takové, že 1-x \neq 0, tj. x \neq 1. Pro x=1 by nastala nepřípustná operace dělení nulou. Tedy x \in \R - \{1\}.
\frac{\sqrt{a-3}}{\sqrt{1-b}}Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit: (a-3 \geq 0) \wedge (1-b > 0). První podmínku lze přepsat jako a \geq 3, druhou podmínku jako b<1. Obě podmínky zaručují, že nebudeme odmocňovat záporné číslo, druhá podmínka navíc vylučuje dělení nulou. Musí tedy platit, že a \in \langle 3; \infty), b \in (-\infty;1).
\frac{\sqrt{x^2+4}}{y(2-|z|)}Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit:
- x^2+4 \geq 0, tj. x^2 \geq -4. Tato podmínka platí \forall x \in \R, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule.
- y \neq 0
- 2-|z| \neq 0, tj. |z| \neq 2, tedy z \neq \pm 2.
První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo. Druhou a třetí podmínkou vyloučíme dělení nulou. Pak tedy můžeme podmínky psát:
x \in \R, y \in \R-\{0\}, z \in \R-\{-2;2\}
Určete hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných
\frac{(2-x)^2}{1+x}, x=3,\ [\frac{1}{4}] \frac{\sqrt{2-x}}{|x+2|}, x=-2\ [nelze\ dělit\ nulou] \frac{|2a-4|}{\sqrt{1-b}}, a=1, b=-1,\ [\sqrt{2}]WolframAlpha
Podmínky řešitelnosti a hodnotu výrazu lze ověřit i pomocí WolframAlpha. Nejprve pár základních příkazů:
- Odmocnina: sqrt()
- n-tá odmocnina: (výraz)^(1/n)
- Absolutní hodnota: abs()
- Zlomek ()/()
- Mocnina: ^ (ALT+94)
Definiční obor: Mějme výraz \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{x^2-10}}. Do Wolframu zapíšeme tento zlomek jako (3x+1) / sqrt(x^2-10) a stiskneme enter. V části DOMAIN vidíme, že x>\sqrt{10}. Je možné také zadat konkrétně do Wolframu:
domain (3x+1) / sqrt(x^2-10)
Poté získáme pouze definiční obor, nicméně postačí zadání bez domain a následné vyhledání potřebných informací.
Obor hodnot: V případě, že chceme zjistit hodnotu výrazu například v bodě 20, stačí zapsat takto:
(3x+1) / sqrt(x^2-10), x=20
Výsledek je pak \frac{61}{\sqrt{390}}. Opět nezapomínejme, že pokud bychom pracovali někdy s desetinnou čárkou, tak ta se ve Wolframu zapisuje jako desetinná tečka.
Příklady