Vzpomínáte si na počítání variací bez opakování? Zjišťovali jsme počet výběrů prvků, kde záleželo na pořadí a kde se každý prvek vyskytoval nejvýše jednou.
Jediný rozdíl u variací s opakováním je ten, že prvky se ve výběru mohou opakovat.
Definice: Definice: k-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
Počet V´(k,n) všech k-členných variací z n prvků je:
V´(k,n) = n^k
Příklad č. 1: Vlajka je složena ze tří svislých pruhů, k dispozici máme 5 barev - bílou, červenou, hnědou, zelenou a žlutou? Každou barvu můžeme použít vícekrát. (Ovšem jeden pruh může být obarven pouze jednou barvou.)
- Určete počet vlajek, které lze z těchto barev sestavit. [125]
- Kolik takových vlajek má žlutý pruh? [75]
- Kolik vlajek má žlutý pruh uprostřed? [25]
- Kolik vlajek nemá červený pruh? [64]
- Kolik vlajek nemá červený pruh uprostřed? [100]
Příklad č. 2: Bývalé české SPZ tvořily 3 písmena a 4 čísla, např. KME0782. Určete, kolik různých SPZ dříve mohlo být? Na SPZ se používalo 28 písmen a číslice 0, 1, 2, ..., 9. [219 520 000]
Příklad č. 3: Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 1,2,3,7,8,9? [1554]
Kolik z nich je menších než 6000? [906]
Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel sestavených z číslic 0,1,2,3,7,8,9? [2 400]
Příklad č. 4: Kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech znacích? [30]
Příklad č. 5: Žofka zapomněla své telefonní číslo. Ví jen, že mělo předčíslí 773 a poté jej tvořilo 6 čísel takových, že: první tři čísla byly sudé (i s nulou), další dvě liché a poslední si nepamatuje vůbec. Kolik takových různých telefonních čísel lze sestavit? [31250]
Příklad č. 6: Kolik je všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [125]
Příklad č. 7: Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat dekadicky pouze použitím číslic 5, 8. [126]
Příklad č. 8: Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s 1500 obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály. [1024, ve městě musí existovat nejméně 2 lidé se steunými iniciály]
Příklad č. 9: Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo. [59049]
Příklad č. 10: Na panelu je k žárovek, z nichž každá může svítit zeleně, žlutě nebo červeně. Určete, kolik různých stavů může panel signalizovat. [katex]3^l[/katex]
Příklad č. 11: Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé. [450000]
Příklad č. 12: Kolik různých vrhů lze provést a) dvěma, b) třemi kostkami, je-li na každé ze šesti stěn 1 až 6 teček. [36, 216]
Příklad č. 13: Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel vytvořených z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, která jsou dělitelná čtyřmi. [324]
Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel vytvořených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, která jsou dělitelná čtyřmi. [270]