Ve variacích (i permutacích) vždy záleželo na pořadí, v jakém jsme vybrané prvky uspořádávali. V kombinacích tomu tak není, na jejich pořadí nezáleží.
Stále prvky mezi sebou rozlišujeme (nemohou se opakovat) a každý se může vyskytovat nejvýše jednou.
Příklad z praxe: při hře poker je důležité, jakou karetní kombinaci vytvoříme ze 7 karet na stole. Nezáleží, jaká karta přišla na stůl jako první nebo jako poslední. Důležitá je pouze kombinace těchto karet.
Definice: k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.
Jinak řečeno:
k-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina množiny těmito n prvky určená.
Definice: Počet K(k,n) všech k-členných kombinací z n prvků je:
K(k,n)=\frac{V(k,n)}{k!}
Pro vyjádření K(k,n) užíváme i symbol {n \choose k}. Nazývá se kombinační číslo a čte se "n nad k".
Pro všechna k,n \in \N_0: k \ge n je:
K(k,n)={n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
Příklad č. 1: Alena má 10 knih, které ještě nepřečetla. Odjíždí na dovolenou a chtěla by si vzít 2 knihy s sebou. Kolik má různých možností, jaké knihy si vybrat? [45]
Příklad č. 2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici (8 x 8 políček) vybrat:
- 3 políčka? [41 664]
- 3 políčka neležící ve stejném sloupci? [41 216]
- 3 políčka neležící ve stejném sloupci ani ve stejné řadě? [40 768]
- 3 políčka, která nejsou všechna stejné barvy? [31 744]
Příklad č. 3: Určete, kolika způsoby je možno ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou
- právě dvě ženy? [210]
- aspoň dvě ženy? [371]
- nejvýše dvě ženy? [301]
Příklad č. 4: Volejbalový turnaj je rozdělen na 3 skupiny. V každé skupině je 6 týmů. V rámci skupiny hraje každý tým s každým.
- Kolik zápasů se v turnaji odehraje? [45]
- Kolik zápasů se v turnaji odehraje, hrají-li ještě vítězové všech skupin každý s každým o celkové první místo? [48]
Příklad č. 5: Jaký bude celkový počet podání rukou:
- jsou-li v místnosti 3 lidé a každý si podává ruku s každým? [3]
- přijde-li dalších 5 lidí? Původní 3 lidé si už ruce mezi sebou nepodávají. [25]
Příklad č. 6:
- Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9? [48 620]
- Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že kamarád Pepa nebude mezi vybranými? [24 310]
- Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že mezi vybranými nebudou zároveň obě kamarádky Katka a Žofka? [37 180]
- Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, aby mezi vybranými byl alespoň jeden z kamarádů Honza nebo Sláva? [37 180]
Příklad č. 7: Petr má sedm knih, o které se zajímá Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. [945]
Příklad č. 8: Je dán čtverec KLMN. Na každé straně čtverce zvolíme 8 vnitřních bodů.
- Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech. [4736]
- Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech a každé dva vrcholy jednoho trojúhelníku leží na různých stranách čtverce. [2048]
Příklad č. 9: Na běžecké trati běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností na postupující trojici? [56]
Příklad č. 10: Kolika způsoby lze rozdělit 12 hráčů na dvě šestičlenná družstva? [462]
Příklad č. 11: Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla dvě děvčata a 4 chlapci? [210]
Příklad č. 12: Ve skupině je 20 dětí, každé dvě děti mají jiné jméno. Je mezi nimi i Alena a Jana. Kolika způsoby lze vybrat 8 dětí tak, aby mezi vybranými:
- byla Alena, [50 388]
- nebyla Alena, [75 582]
- byla Alena a Jana, [18 564]
- byla alespoň jedna z dívek Alena, Jana, [82 212]
- byla nejvýše jedna z dívek Alena, Jana, [107 406]
- nebyla ani Alena, ani Jana? [43 758]
Příklad č. 13: Kolika způsoby lze 20 dětí rozdělit do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek? [38 798 760]
Příklad č. 14: V sérii 12 výrobků jsou právě 3 vadné. Kolika způsoby z nich lze vybrat:
- 6 libovolných výrobků, [924]
- 6 výrobků bezvadných, [84]
- 6 výrobků, z nichž právě 1 je vadný, [378]
- 6 výrobků, z nichž právě 2 jsou vadné, [378]
- 6 výrobků, z nichž právě 3 jsou vadné? [84]
Příklad č. 15: Kolika způsoby je možné vybrat z přirozených čísel menších nebo rovných 30 tři různá čísla tak, aby jejich součet byl roven sudému číslu? [2030]