Kombinace bez opakování

Ve variacích (i permutacích) vždy záleželo na pořadí, v jakém jsme vybrané prvky uspořádávali. V kombinacích tomu tak není, na jejich pořadí nezáleží.

Stále prvky mezi sebou rozlišujeme (nemohou se opakovat) a každý se může vyskytovat nejvýše jednou.

Příklad z praxe: při hře poker je důležité, jakou karetní kombinaci vytvoříme ze 7 karet na stole. Nezáleží, jaká karta přišla na stůl jako první nebo jako poslední. Důležitá je pouze kombinace těchto karet.

Definice: k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou.

Jinak řečeno:

k-členná kombinace z n prvků je k-prvková podmnožina množiny těmito n prvky určená.

Definice: Počet K(k,n) všech k-členných kombinací z n prvků je:

K(k,n)=\frac{V(k,n)}{k!}

Pro vyjádření K(k,n) užíváme i symbol {n \choose k}. Nazývá se kombinační číslo a čte se "n nad k".

Pro všechna k,n \in \N_0: k \ge n je:

K(k,n)={n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}


Příklad č. 1: Alena má 10 knih, které ještě nepřečetla. Odjíždí na dovolenou a chtěla by si vzít 2 knihy s sebou. Kolik má různých možností, jaké knihy si vybrat? [45]


Příklad č. 2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici (8 x 8 políček) vybrat:

  • 3 políčka? [41 664]
  • 3 políčka neležící ve stejném sloupci? [41 216]
  • 3 políčka neležící ve stejném sloupci ani ve stejné řadě? [40 768]
  • 3 políčka, která nejsou všechna stejné barvy? [31 744]

Příklad č. 3: Určete, kolika způsoby je možno ze sedmi mužů a čtyř žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou

  • právě dvě ženy? [210]
  • aspoň dvě ženy? [371]
  • nejvýše dvě ženy? [301]

Příklad č. 4: Volejbalový turnaj je rozdělen na 3 skupiny. V každé skupině je 6 týmů. V rámci skupiny hraje každý tým s každým.

  • Kolik zápasů se v turnaji odehraje? [45]
  • Kolik zápasů se v turnaji odehraje, hrají-li ještě vítězové všech skupin každý s každým o celkové první místo? [48]

Příklad č. 5: Jaký bude celkový počet podání rukou:

  • jsou-li v místnosti 3 lidé a každý si podává ruku s každým? [3]
  • přijde-li dalších 5 lidí? Původní 3 lidé si už ruce mezi sebou nepodávají. [25]

Příklad č. 6:

  • Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9? [48 620]
  • Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že kamarád Pepa nebude mezi vybranými? [24 310]
  • Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, že mezi vybranými nebudou zároveň obě kamarádky Katka a Žofka? [37 180]
  • Kolika způsoby je možno z 18 kamarádů vybrat 9 požadujeme-li, aby mezi vybranými byl alespoň jeden z kamarádů Honza nebo Sláva? [37 180]

Příklad č. 7: Petr má sedm knih, o které se zajímá Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny. [945]


Příklad č. 8: Je dán čtverec KLMN. Na každé straně čtverce zvolíme 8 vnitřních bodů.

  • Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech. [4736]
  • Určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech a každé dva vrcholy jednoho trojúhelníku leží na různých stranách čtverce. [2048]

Příklad č. 9: Na běžecké trati běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností na postupující trojici? [56]


Příklad č. 10: Kolika způsoby lze rozdělit 12 hráčů na dvě šestičlenná družstva? [462]


Příklad č. 11: Kolika způsoby lze 4 dívky a 8 chlapců rozdělit na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu byla dvě děvčata a 4 chlapci? [210]


Příklad č. 12: Ve skupině je 20 dětí, každé dvě děti mají jiné jméno. Je mezi nimi i Alena a Jana. Kolika způsoby lze vybrat 8 dětí tak, aby mezi vybranými:

  • byla Alena, [50 388]
  • nebyla Alena, [75 582]
  • byla Alena a Jana, [18 564]
  • byla alespoň jedna z dívek Alena, Jana, [82 212]
  • byla nejvýše jedna z dívek Alena, Jana, [107 406]
  • nebyla ani Alena, ani Jana? [43 758]

Příklad č. 13: Kolika způsoby lze 20 dětí rozdělit do tří skupin tak, aby v první skupině bylo 10 dětí, ve druhé skupině bylo 6 dětí a ve třetí zbytek? [38 798 760]


Příklad č. 14: V sérii 12 výrobků jsou právě 3 vadné. Kolika způsoby z nich lze vybrat:

  • 6 libovolných výrobků, [924]
  • 6 výrobků bezvadných, [84]
  • 6 výrobků, z nichž právě 1 je vadný, [378]
  • 6 výrobků, z nichž právě 2 jsou vadné, [378]
  • 6 výrobků, z nichž právě 3 jsou vadné? [84]

Příklad č. 15: Kolika způsoby je možné vybrat z přirozených čísel menších nebo rovných 30 tři různá čísla tak, aby jejich součet byl roven sudému číslu? [2030]

Aktuality

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma: