Permutace bez opakování

Permutace je název pro uspořádání prvků určité skupiny. I nyní nás bude zajímat počet všech různých uspořádání, které můžeme s danými prvky učinit. (Např. Kolika způsoby mohu seřadit 5 dětí vedle sebe?).

Rozdíl oproti variacím je pouze ten, že uspořádáváme všechny prvky.

Opět tyto prvky mezi sebou rozlišujeme, jsou navzájem různé a neopakují se. Opět nám záleží na pořadí prvků.

Definice: Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje právě jednou.

Jinak řečeno: Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků.

Definice: Pro každé přirozené číslo n definujeme:

n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Počet P(n) všech permutací z n prvků je:

P(n) = n!


Příklad č. 1: K návrhu zákona se mají postupně vyjádřit 4 poslanci: Adámek, Beneš, Coufal a Dupák. Určete počet všech možných pořadí jejich vystoupení. [24]


Příklad č. 2: Vedení sportovního klubu 1.FK Zborovice tvoří 3 muži a 2 ženy. Určete kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, účetního, hospodáře a trenéra? [120]


Příklad č. 3: Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na úterý pro 8. třídu ZŠ Sýpky, v níž se vyučuje 6 předmětů. Každý předmět má právě jednu vyučovací hodinu denně a celkově se vyučuje 6 vyučovacích hodin denně. [720].

Kolika způsoby lze sestavit takový rozvrh, který má jako třetí vyučovací předmět zeměpis? (Zeměpis je jeden ze šesti předmětů).[120]


Příklad č. 4: Určete, kolika způsoby se v pětimístné lavici může posadit:

  • pět chlapců; [120]
  • pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe; [24+24=48]
  • pět chlapců, jestliže Kuba a Jirka chtějí sedět vedle sebe a Honza chce sedět na kraji. [12+12=24]

Příklad č. 5: Žáci 3. třídy chtějí nacvičit divadlo na vánoční besídku. Paní učitelka musí 9 žákům (5 chlapců a 4 děvčata) rozdělit divadelní role: Král, královna, princ, princezna, dvorní dáma, služebná, podkoní, kovář a rytíř.

  • Kolika způsoby může tyto role rozdělit? [362 880]
  • Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby královna a princezna byla děvčata a král a princ byli chlapci? Ostatní mohou být jakkoli. [28 800]
  • Kolika způsoby může tyto role rozdělit tak, aby ženské role hrála děvčata a mužské role chlapci? [2 880]

Příklad č. 6: Určete počet všech sudých pěticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 1, 2, 3, 4, 5, nemůže-li se v daném čísle žádná cifra opakovat. [48]


Příklad č. 7: Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel vytvořených z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, v nichž se žádná cifra neopakuje. [600]


Příklad č. 8: Kolika způsoby můžeme posadit ke kulatému stolu 5 mužů a 5 žen tak, aby žádné dvě osoby téhož pohlaví neseděly vedle sebe? [28 800]


Příklad č. 9: Kolika způsoby lze postavit do řady 4 Angličany, 2 Francouze a 3 Turky, musí-li osoby téže národnosti stát vedle sebe? [1 728]


Příklad č. 10: Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7? [96]

  • Kolik z těchto čísel je dělitelných šesti? [42]
  • Kolik jich je větších než 74301? [1 číslo - 74 310]

Příklad č. 11: Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši "Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou" tak, aby se nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší. [1 152]


Příklad č. 12: Kolika způsoby můžeme rozestavit 6 dětí do kruhu? [120]


Příklad č. 13: Kolik náhrdelníků lze utvořit ze 6 korálků různých barev? [60]

Aktuality

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma: