Definice: \forall \ n, k \in \N_0, k \ge n definujeme:
{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
Symbol {n \choose k} se nazývá kombinační číslo a čte se "n nad k".
Vybrané vlastnosti kombinačních čísel:
Vlastnost č. 1: \forall n, k \in \N_0,\ k \ge n: {n \choose n-k} = {n \choose k}
Důkaz: {n \choose n-k} = \frac{n!}{ (n-k)! \cdot [n-(n-k)]!}=\frac{n!}{ (n-k)! \cdot k!} = {n \choose k}
Vlastnost č. 2: \forall n \in N_0: {n \choose 0} = {n \choose n} = 1, \ {n \choose 1} = n
{n \choose 0} = \frac{n!}{0! \cdot (n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1 \\ {n \choose n} = \frac{n!}{(n-0)! \cdot 0!} = \frac{n!}{n!} = 1 {n \choose 1} = \frac{n!}{1! \cdot (n-1)!} = \frac{n!}{(n-1)!}=nVlastnost č. 3: {0 \choose 0}=\frac{0!}{0! \cdot 0!} = 1
Vlastnost č. 4: {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}
Vyjádřete jedním kombinačním číslem: {7 \choose 3} + {7 \choose 5}
Protože {7 \choose 3} = {7 \choose 4}, platí {7 \choose 3}+{7 \choose 5} = {7 \choose 4} + {7 \choose 5}={8 \choose 5}
Příklady: