Pro \forall n \in \N_0: n!=n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1, kde 0!=1.
Číslo n! čteme jako "n faktoriál".
Tedy faktoriál přirozeného čísla je součin daného přirozeného čísla se všemi dalšími menšími přirozenými čísli (vždy je následující přirozené číslo o jedno menší a končíme číslem 1).
3!=3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ 5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120Pokud si vzpomeneme na kombinatorické pravidlo součinu, tak faktoriál nám říká, kolika způsoby lze seřadit n prvků. Pokud mám 1!, tak nám to říká, kolika způsoby mohu uspořádat jeden prvek. 1!=1. Jeden prvek logicky mohu uspořádat pouze jedním způsobem.
V případě 2! řeším úlohu, kolika způsoby lze uspořádat dva prvky. Pokud mám prvky a, b, tak ty lze uspořádat ab nebo ba, tedy dvěma způsoby.
2!=2 \cdot 1 = 2.
a tak dále ...
Nyní můžeme definovat 0!, neboli kolika způsoby mohu uspořádat nula prvků. Zde je pouze jedinný způsob a to žádným uspořádáním. Ale to je ta jedna možnost, jak je mohu uspořádat!!! Proto 0!=1. Mám jedno konkrétní uspořádání = a to žádné uspořádání.
Využití v příkladech: Často budeme využívat faktu, kdy mohu libovolně snižovat faktoriál, tedy například:
n!=n(n-1)!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!
Konkrétně:
6!=6 \cdot 5!
protože právě v zápise 5! je schován součin 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.
Zjednodušte: \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)n!}{n!}=n+1
Zjednodušte: \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}=n
Zjednodušte: \frac{(n+1)!}{(n!)^{2}}=\frac{(n+1)n!}{n! \cdot n!}=\frac{n+1}{n!}
Příklady: