Goniometrické funkce - sinus

Sinus úhlu \alpha se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony. Co to znamená? Pokud spočítáme (na kalkulačce například) sinus úhlu \alpha, získáme hodnotu podílu

Zkusíme si to na tomto trojúhelníku a úhlu \beta.

Trojúhelník s vyznačeným úhlem beta

Délky stran jsou: a=5, b=3, c=4. Protilehlá odvěsna k úhlu \beta je strana b, přepona je strana a. Vypočítáme podíl \frac{b}{a}, tedy \frac{3}{5} , což je 0,6. Sinus úhlu \beta se tak rovná 0,6. Úhel \beta má velikost 36° 52´.

Poznámka: Do kalkulačky vložte sin^-^1(0,6) a získáte výsledek 36,87°, po přepnutí na stupně a minuty dostanete hodnotu 36° 52´.

Pokud tento úhel naskládáte do kalkulačky a vypočítáte sinus, získáte právě 0,6 (po drobném zaokrouhlení).

K čemu je to dobré?

Je to dobré v případě, kdy znáte jeden úhel a délku jedné strany a potřebujete dopočítat zbývající strany.

Zadání příkladu: dopočítejte délku přepony

Jako první si napíšeme, co vlastně víme. Známe úhel \alpha . Víme, že sinus tohoto úhlu je rovný poměru protilehlé odvěsně (což je strana a) ku přeponě (strana b). Zapsáno matematicky:

sin(\alpha) = \frac{a}{b}

Sinus úhlu známe, respektive můžeme vypočítat, délku strany a známe. Jediné, co neznáme, je délka strany b. Tuto proměnnou se tak budeme snažit osamostatnit. Jako první vynásobíme rovnici délkou strany b. Dostaneme

b \cdot sin(\alpha) = a

a teď už jen rovnici vydělíme sin(\alpha) a dostáváme požadovaný tvar s délkou strany b na levé straně:

b= \frac{a}{sin(\alpha)}

Délku strany a známe, ta je rovna 3. Sinus 30° je roven \frac{1}{2}. Dosadíme:

b = \frac{3}{0,5}=6

Strana b má délku 6.


Vzorový příklad - známe délky stran, vypočítáme vnitřní úhly:

Pravoúhlý trojúhelník má délky stran a=6 cm, b=10 cm, c=8 cm. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů využitím funkce sinus.


Tento trojúhelník je pravoúhlým. Ověření by bylo možné provést na základě platnosti Pythagorovy věty. Přeponou je nejdelší strana, tedy strana b.

sin(\alpha) = \frac{a}{b}

sin(\alpha) = \frac{6}{10}

sin(\alpha) = 0,6

Nyní musíme na kalkulačce zmáčknout klávesu sin^{-1} a zadat hodnotu 0,6. Většinou je tato klávesa umístěta jako klávesa sin, jen je nutné před jejím zmáčknutím zmáčknout klávesu shift.

sin^{-1}(0,6)=0,644

Nyní na kalkulačce zmáčkneme symbol pro převod desetinného čísla na stupně a minuty, většinou vypadá takto: °´´. Dostáváme pak:

sin^{-1}(0,6)=36,87°

Zápsáno ve wolframalpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin%280.6%29

Jelikož je trojúhelník pravoúhlý, můžeme říci, že \beta = 90°. Dále pak víme, že součet vnitřních úhlu v trojúhelníku je 180°. Úhel \gamma je pak tedy roven:

\gamma = 180° - 90° - 36,87° = 63,13°

Příklady:

  • V pravoúhlém trojúhelníku je úhel proti kratší odvěsně
    30°. Vypočítej délku kratší odvěsny, je-li přepona 8 cm. [a = 4 cm]
  • V pravoúhlém trojúhelníku je úhel proti kratší odvěsně
    60°. Vypočítej délku přepony, je-li kratší odvěsna 8 cm. [c = 9 cm]
  • V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny 45 cm,
    přepony 100 cm. Vypočítej velikost úhlu naproti zadané
    odvěsny. [ \alpha=27°] .

Aktuality

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma:

 

Písemná práce

Test třídy ___

Termín:

Téma: